[수학잘하는 공부법 로드맵 ep05] 수학잘하는 학생이고 싶다면 이 힘을 길러라, 변화를 주는 힘 - 2편

지난 1편에서는 변화를 주는 힘에 대해서 알아보았습니다.
이번에는 어떻게 학생에게 변화를 주는 힘을 길을 수 있는지 학습방법에 대해서 이야기하겠습니다.

변화를 주는 힘-2

개념공부를 할 때,
학생은 해당 개념을 처음 배우게 됩니다.
일반적으로 수학의 개념은 하나로 독립적으로 이루어진 경우보다, 연결된 중첩된 경우가 많습니다.
하나의 개념이 여러 가지로 해석되는 경우가 많습니다.
특히, 초, 중에서는 개념자체가 단순구조를 띄는 경우가 많기 때문에 개념에 대한 공부가 수박 겉 핥기 식으로 한번 보고, 듣는 것 만으로 지나가 버리고, 바로 문제풀이를 하며 익혀가는 경우가 많습니다.
문제를 풀면 모르는 문제가 나오면 별을 하고, 해설을 듣고, 유사문제를 같은 방식으로 풀어내는 암기에 의존하는 공부를 합니다.
사고력을 키우는 공부를 하는 것이 아닌 문제풀이의 절차를 암기하는 공부를 하게 되는 것입니다.
더 무서운 것은 이 공부법이 나쁜 공부법이라는 것을 모르는체 학부모님과 학생은 이 나쁜 공부법에 길들여져 갑니다.
이러한 공부는 고등에서도 연결되는 나쁜 공부방법입니다.
처음 개념을 배우면 기존의 학생이 알고 있는 수학지식으로 표현할 수 있어야 하고 가능한 경우를 모두 학습해야 합니다.
학습이 계속 될 수록 하나의 수학개념을 여러 가지로 표현할 수 있어야 합니다.
간단히 예를 들어 보겠습니다.
여기 4*8

이 있습니다.
이 4*8은 학년이 높아 질수록 여러 가지로 표현할 수 있어야 합니다.
단순히 4*8=32로 끝내면 안됩니다.
4*8의 의미부터 배우기 시작합니다.
수학은 서양의 학문이죠.
그래서 가능하면 서양의 사고방식대로 가르치는 것도 좋습니다.
4*8은 4 times 8, 즉 4번 8이 됩니다.
우리말로 8이 4번이 됩니다.
(일반적으로 4*8을 4가 8번이라고 학습하는 경우도 많지만, 중1에 문자와 식단원에서 4a 같은 경우에 힘들어하는 경우도 많습니다.)
4*8 = 8+8+8+8
8+8+8+8=32
그런데, 4가 8번이면
8번 4 = 8 times 4=4+4+4+4+4+4+4+4=8*4
그림으로도 표현할 수 있어야 됩니다.

그림으로 표현

그러면 4*8과 8*4는 같다는 것을 알 수 있습니다.
그래서 4*8 을 4가 8번있다라고 말할 수 있다고 학습합니다.
또한 4*8 = 6*4가 같게 되므로 곱셈의 교환법칙이 성립됨을 학습하고, 무분별하게 교환법칙이 성립되지는 않음을 학습합니다.
여기서 8이라는 숫자를 보고 보수의 개념을 이용한 연산을 학습할 수도 있습니다.
8을 10-2로 생각해서
4*(10-2) = 4*10 - 4*2 로 계산을 연습할 수 있습니다.
위와 같이 연습을 하면 여기서는 한자리 곱셈을 하여 효용이 없지만 큰 수를 연산할 때 높은 효용을 느낄 수 있습니다.
사각형의 넓이를 배우면 4*8 = 밑변이 4, 높이가 8인 직사각형의 넓이

직사각형

직사각형

교환법칙이 성립하므로 밑변이 8, 높이가 4인 직사각형의 넓이와 같다.
합차공식을 배우면 8*4=(6+2)*(6-2)
이렇게 다양하게 변화를 시킬 수 있어야 문제해결력이 높아집니다.

삼각형의 넓이도 예로 들어보겠습니다.
최초 삼각형의 넓이는 밑변*높이/2로 배웁니다.
학년이 높아질수록 다양한 방법으로 삼각형의 넓이를 물어볼 수 있습니다.
중학교에 점과 좌표를 배우면 좌표평면에서 삼각형의 넓이를 물어보는 문제가 간혹 있습니다.
이때 다수의 학생은 밑변과 높이를 찾을 수 없어 포기하는 경우가 있습니다.
문제의 의도는 밑변과 높이를 찾는 것이 아니라 직사각형에서 여분의 삼각형을 빼는 문제입니다.
이렇게 삼각형의 넓이는 밑변*높이/2로 생각이 갇혀 있으면 문제해결력이 떨어집니다.
이후 중3에서 삼각형의 넓이는 1/2*양변*sin끼인각도 등장합니다.
물론 원리는 밑변*높이/2입니다.
헤론의 공식도 있지만 교육과정외이므로 언급하지 않겠습니다.

이렇게 다양한 표현을 학습을 할 때 익히고, 학생이 알고 있는 모든 표현을 나열할 수 있어야 하며 이것을 문제에 적용해야 학습의 효과를 누릴 수 있습니다.
문제에 나올 때마다 암기식으로 외운다고 결코 자신의 실력이 되지 않으며 시간이 지나면 단순암기는 잊어버리기 마련입니다.
머릿속에 여러 가지 표현들을 넣어놓고 문제를 통해 출력을 해야 머릿속에서 지식이 구조화됩니다.
위 이야기는 주제에서 벗어나니 나중에 자세히 이야기 하겠습니다.

그럼, 문제를 풀때의 상황도 알아보겠습니다.
예를 들어 아래 간단한 곱셈 문제가 있습니다.
문제
간혹 학생중에 각 반별로 수수깡의 묶음을 계산하여 더하는 경우가 있습니다.
21*3 + 28*3 + 24 * 3 + 25*3 + 28*3으로 계산하여 378묶음 답을 맞히는 경우가 있습니다.
틀린 경우는 아니니 잘못풀었다고 하면 안 되고, 또 다른 방법을 생각할 수 있도록 유도해야 합니다.
그래서 학생수를 모두 더한 다음 3을 곱하는 것(21+28+24+25+28)*3을 생각해 낸다면 방금 전 풀이와 현재의 풀이가 같은 것이라고 배우고 전의 풀이에 변화를 주는 것을 학습해야 합니다.
중요한 것은 이문제의 풀이가 아니고, 교습자의 태도입니다.
학생이 답을 맞혔다고 넘어가는 것이 아니라 맞은 문제라도 풀이를 보고 좀 더 다양한 생각을 할 수 있도록 지도해야 합니다.
물론 그렇게 하기 위해서는 학생이 풀이를 쓰는 훈련도 해야 합니다.
한 문제를 풀더라도 더 다양하게 풀 수 있고, 학습의 질이 높아 집니다.
학부모와 교습자의 정성과 노력이 학생의 실력향상에 필수조건입니다.
다음에는 수학심화 할 것인가 말 것인가 논란이 많습니다. 
이 주제에 대해서 이야기 하는 시간을 갖겠습니다.