[진짜수학공부 로드맵 ep04] 수학잘하는 학생이고 싶다면 이 힘을 길러라, 변화를 주는 힘 - 1편

지난 시간에는 원리 찾기에 대해서 이야기해 보았습니다.
이번에는 원리찾기에 기반을 둔 변화를 주는 힘에 대해서 이야기해보겠습니다.

수학을 잘하는 학생은 문제를 보고 개념에 변화를 주어 문제를 해결하는 모습을 볼 수 있습니다.
변화를 주는 힘을 길으는 것은 수학을 잘하기위한 요소중 하나입니다.

 

수학잘하는 학생이고 싶다면 이 힘을 길러라, 변화를 주는 힘 - 1편

변화를 주는 예를 같이 실습해 봅시다.
문제를 하나 내겠습니다.
1부터 100까지의 합은?
1+2+3+4+... +99+100 = ?
이 문제는 가우스가 10살때 자연수의 합을 거꾸로 붙여 구했다고 합니다.
가우스가 풀기 전까지는 일반사람들은 풀기 어려운 문제였다고 합니다.
하지만, 현재의 학생들은 학습을 통해서 쉽게 풀 수 있게 되었습니다.
연속된 자연수의 합 공식이 있습니다.
1+2+3+...+n = n(n+1)/2
고등학교 수학 수열의 합 단원에 등장하게 됩니다.
하지만, 우리 초등학생들도 웬만해선 아는 내용이지요.
1부터 100까지의 합은 5050입니다.

이문제가 본론은 아니구요.
이제 본론으로 들어가겠습니다.
우리는 이공식을 알아냈습니다.

그럼 변화를 주는 연습을 해봅시다.
여기 두문제가 있습니다.
1부터 50까지의 수 중 3의 배수의 합은?
1부터 50까지의 수 중 홀수의 합은?

자, 결과를 보기 전에 어떻게 변화를 주면 위 문제를 해결할 수 있을까요?
잠시 생각해 봅시다.

먼저, 1부터 50까지의 수 중에서 3의 배수의 합은 408입니다.
문제 해결 과정을 알아보겠습니다.
3+6+9+12+...+48 
3으로 묶어 볼까요
 3(1+2+3+...+16)
이제 우리가 알고 있는 연속된 자연수의 합으로 변형을 했습니다.
=3*16*17/2=408로 해결됩니다.

그럼, 두번째 문제를 볼까요?
1부터 50까지의 수 중 홀수의 합은?
 한번 나열해서 써보죠.
딱 봐서 모르면 일단 풀어헤쳐보는 겁니다.
1+3+5+7+...+47+49=?
어떻게 하면 우리가 아는 연속된 자연수의 합으로 바꿀까요
이식의 각 숫자에 1을 더합니다.
그러면
2+4+6+8+...+50 이 됩니다.
이제 보이시나요?
2로 묶으면
2(1+2+3+...+25)가 됩니다.
2*25*26/2=650이 됩니다.
650이 답일까요?
아니죠 우리는 각 숫자에 1을 더했습니다.
총 25를 더했습니다.
결과는 650-25=625입니다.
항상 문제의 답이 나오면 검토와 검산을 해보아야 합니다.
그래야 실수를 하지 않습니다.
사람은 누구나 실수를 합니다.
실수를 하지 않으려면 실수를 하지 않는 습관이 중요합니다.
실수하는 학생들에 대해서도 고민이 많으실 겁니다.
그 이야기는 이번주제와 다르니 다음에 다루도록 하겠습니다.

우리는 연속된 자연수의합 1+2+3+...+n=n(n+1)/2를 알고 있었습니다.
문제를 해결할때 문제를 변형하여 우리가 알고 있는 식을 이용할 수 있었습니다.
학생들에게 필요하고 길러주어야 할 능력입니다.
수학 실력을 높이는 변화를 주는 힘 2탄에서는 개념학습을 할 때, 문제풀이를 할 때 어떻게 지도하여야 하는지 이야기해보겠습니다.